Начертательная геометрия и инженерная графика

Способ аппроксимации для построения приближенных разверток (вписанных и описанных поверхностей).

2.                Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей

Теоретически можно получить точную развертку развертывающейся поверхности, по но практически это выполнить невозможно и нет необходимости. Поэтому при построении разверток поверхностей удобно использовать графические приемы. Криволинейные поверхности аппроксимируют(приближенно замечают) поверхностями вписанных или описанных многогранников, грани которых треугольники или четырехугольники; строят развертки этих многогранников и выполняют обводы концевых точек ребер развернутой поверхности.

При графическом выполнении развертки всегда приходится проводить спрямление или разгибание кривых линий, принадлежащих поверхности. С этой целью применяется способ малых хорд. Как показывает название способа, он заключается в том, что в спрямляемую или разгибаемую кривую (плоскую или пространственную) вписывается ломанная линия, звенья которой представляют небольшие хорды рассматриваемой кривой. Если кривую нужно спрямить, то ее хорды последовательно откладываются на некоторой прямой и полученный отрезок принимаются за приближенную длину дуги кривой.

Аппроксимируя заданную развертывающуюся поверхность поверхностью вписанного или описанного многогранника, получаем в большинстве случаев треугольные или четырехугольные грани. В том случае, когда аппроксимирующая многогранная поверхность имеет треугольные грани, способ построения развертки называют способом триангуляции.

В качестве примера применения способа триангуляции рассмотрим построение развертки конической поверхности, заданной направляющей а и вершиной S(рис. 9.3).

Аппроксимируем коническую поверхность поверхностью незамкнутой пирамиды, вписанную в заданную поверхность. За основание пирамиды примем ломанную, вписанную в направляющую а. Длина отрезков ломанной линии выбирается в зависимости от требуемой точности получения развертки: отрезки ломанной выбираются тем меньше, чем выше требование точности получаемой развертки.

Построим развертку этой пирамиды. Ребра ее основания в данном случае на плоскость П₁проецируется в натуральную величину. Для определения истинных величин боковых ребер вписанного многогранника используем способ вращения. Если в качестве направляющей выступает некоторая пространственная кривая, или плоскость плоской кривой занимает общее положение, то необходимо еще дополнительно определить натуральные величины отрезков, составляющих ломанную, вписанную в направляющую.

Порядок построения приближенной развертки конической поверхности:

1.                 На произвольной прямой lот произвольной ее точки, принятой заSоткладываем отрезок А₀S₀, / А₀S₀/ = /А₂^’S₂/.

2.                 На А₀S₀достраиваем треугольник А₀S₀1₀со сторонами А₀1₀иS₀1₀, / А₀1₀/ = / А₁1₁/, /S₀1₀/ = /S₂1₂^’/.

3.                 Последовательно строим на развертке треугольники 1₀S₀2₀, 2₀S₀3₀и т.д., соответственно конгруэнтные граням аппроксимирующего многогранника.

4.                 Ломанную линию А₀1₀2₀3₀В₀заменяем лекальной кривой, проходящей через вершины ломанной. Полученная на рис. 9.3 фигура Ф₀является приближенной разверткой заданной конической поверхности.

При построении приближенной развертки цилиндрической поверхности в качестве аппроксимирующей используется поверхность призмы. Рассмотрим построение приближенной развертки цилиндрической поверхности способом нормального сечения.

На рис. 9.4 показан пример построения цилиндрической поверхности.

Предварительно в заданную поверхность следует вписать призму, боковые ребра которой совпадают с некоторыми образующими цилиндрической поверхности. Дальнейшее построение развертки аналогично построению развертки призмы (см. рис. 9.2).

Порядок построения развертки следующий:

1.                 Рассечем цилиндр плоскостью ∑, перпендикулярной образующим.

2.                 Натуральный вид нормального сечения определим с помощью замены плоскости П₁на П₄║∑.

3.                 Спрямим кривую нормального сечения, последовательно отложив длины хорд нормального сечения /M₂N₂/ = /M₄N₄/, /N₂K₂/ = /N₄K₄/, /К₂F₂/ = /K₄F₄/ на произвольной прямой а₂.

4.                 Через точки M₂ N₂К₂ F₂проведем прямые, перпендикулярные а₂, отложим на них отрезки, равные отрезкам соответствующих образующих (ребер призмы) и выполним обводы концевых точек образующих.

Полученная плоская фигура является приближенной разверткой рассматриваемого цилиндра.