Начертательная геометрия и инженерная графика

Разверткой называется фигура, полученная от совмещения поверхности с плоскостью.

Представляя поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой пленки, можно говорить о таком преобразовании поверхности, при котором поверхность совмещается с плоскостью без складок и разрывов.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися.

Поверхности, которые не могут быть наложены на плоскость без складок и разрывов, называются неразвертывающимися.

Построение разверток поверхностей представляет собой важную техническую задачу и имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала, так как в промышленности применяется много конструкций в виде сосудов и трубопроводов, выполненных из листового материала способом изгибания. Одним из важных этапов в проектировании таких конструкций является построение разверток

.

При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей.

Если рассматривать поверхность и ее развертку как точечные множества, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Значит, каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии соответствует линия на развертке и наоборот. .

Рис. 144. Получение развертки поверхности: а – поверхность; б – развертка поверхности

Указанное взаимно однозначное соответствие обладает рядом весьма важных свойств, которые заключаются в следующем:

• длины двух соответствующих линий развертки и поверхности равны между собой;

• углы, образованные линиями на развертке, и углы между соответствующими линиями на поверхности равны;

• замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

Эти свойства коротко можно выразить следующим образом: поверхность Ω называется развертывающейся на плоскость Ω₀, если между их точками M и M₀ (рис. 144) можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями.

Таким образом, длина s дуги AB равна длине s₀ дуги A₀B₀, угол φ равен углу φ₀ и площадь F равна площади F0₀

После этого развертку можно определить как такое геометрическое преобразование поверхности в плоскую фигуру, которое является взаимно однозначным и обладает указанными ранее свойствами.

Также необходимо отметить еще два важных свойства:

• прямая линия на поверхности переходит в прямую на развертке;

• параллельные прямые переходят тоже в параллельные прямые.

Рассмотрим простой пример, на котором можно легко видеть указанные основные свойства.

На рис 145 изображены конус вращения и его развертка, имеющая вид кругового сектора. Прямолинейная образующая (SA) на конусе переходит в соответствующую ей прямую (S₀A₀). Положение точки S₀ выбирается произвольно. Длина кривой q равна длине соответствующей ей кривой q₀ на развертке. Угол между (SA) и q, измеряемый как угол между (SA) и касательной t в точке A и являющийся прямым, переходит в равновеликий угол между (S₀A₀) и касательной t₀. Наконец, площадь поверхности конуса и площадь кругового сектора развертки равны между собой.

Рис. 145. Поверхность конуса и его развертка

Однако не все поверхности можно постепенно деформировать и совместить с плоскостью так, что при этом не будет ни разрывов, ни складок.

Признак развертываемости поверхности можно определить следующим образом: поверхность будет развертывающейся, если касательная плоскость во всех точках одной и той же ее прямолинейной образующей постоянна (рис. 146).

Рис. 146. Поверхности: а – развертывающаяся; б – неразвертывающаяся

К развертывающимся поверхностям относятся все многогранные поверхности. Разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех ее граней (рис. 147).

Поэтому построение развертки многогранной поверхности сводится к определению натуральной величины отдельных ее граней.

Рис. 147. Развертка многогранной поверхности

Из класса линейчатых поверхностей развертывающимися будут только цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата (торсы) (рис. 148).

Рис. 148. Развертывающиеся линейчатые поверхности: а – цилиндрическая; б – коническая; в – торс

Все криволинейные поверхности являются неразвертывающимися, так как на них вообще нельзя провести прямой линии.

При построении разверток ее размеры могут быть вычислены с любой степенью точности. Чертеж развертки, выполненный на основе размеров, полученных вычислением, называют точным. Однако на практике чаще всего строят развертки по чертежу поверхности, используя определенные графические приемы. Чертеж развертки, выполненный с помощью графических приемов, называют приближенным. Чертеж развертки неразвертывающихся поверхностей называют условным.