Способ эксцентрических сфер

Способ эксцентрических сфер основан на том, что около всякой окружности можно описать бесчисленное множество сфер, геометрическим местом центров которых является прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная плоскости окружности. Этот способ применяется в следующих случаях:

• при определении линии пересечения поверхностей вращения со скрещивающимися осями;

• при определении линии пересечения поверхности вращения с поверхностью, имеющей круговые сечения.

В обоих случаях обязательным является наличие общей плоскости симметрии. Рассмотрим способ эксцентрических сфер на примере построения линии пересечения поверхностей конуса и кольца (рис. 113). Конус и кольцо имеют общую плоскость симметрии δ(δ1), и их оси вращения i(i1,i2) и q(q1,q2 – скрещивающиеся прямые.

Рис. 113. Линия пересечения поверхностей конуса и кольца

1. Определить опорные точки (рис. 114). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ1), параллельную плоскости проекций П2, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П2, пересекаются. Точки A(A1,A2) и B(B1,B2) пересечения этих образующих являются опорными точками.

Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.

Рис. 114. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

2. Для определения промежуточных точек в качестве вспомогательных поверхностей выбраны эксцентрические сферы, центры которых лежат на оси конуса.

Положение центров определяется следующим образом (рис. 115, 116): через ось кольца q(q1,q2) проводят плоскость σ(σ2) ⊥ П2 и заменяют «кривой цилиндр» (кольцо) соприкасающимся с ним по окружности прямым цилиндром (фронтальная проекция этого цилиндра показана на рис. 112 штрихпунктирными линиями). Ось этого цилиндра c ⊥ σ(c2 ⊥ σ2) и пересекает ось конуса в точке O:

Рис. 115. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей способом эксцентрических сфер

Из точки O(O2) проведена сфера такого радиуса r, чтобы она пересекала кольцо по окружности m(m2).

Эта же сфера пересекает конус по окружности n (n1,n2). В пересечении окружностей m и n получаются точки C и D, принадлежащие искомой линии пересечения:

Чтобы построить горизонтальные проекции точек C и D, принадлежащих искомой линии пересечения, следует использовать окружность n (n1,n2) конической поверхности, так как она не искажается на плоскости проекций П1:

3. Для определения точек E,F,G и H, принадлежащих искомой линии пересечения, проведены плоскости η(η2) и μ(μ2) (рис. 117). Центрами вспомогательных сфер являются точки O'(O'2) и O''(O''2) соответственно. Все остальные построения выполнены аналогичным образом.

Рис. 116. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

4. Определить видимость очерковых образующих и линии пересечения поверхностей. На фронтальной проекции видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией плоскости симметрии δ(δ1), - точки A, G, C и B. На горизонтальной проекции поверхность конуса невидима, следовательно, невидима и вся линия пересечения. Искомая линия пересечения данных поверхностей u(u1,u2) приведена на рис. 117.

Рис. 116. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

4. Определить видимость очерковых образующих и линии пересечения поверхностей. На фронтальной проекции видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией плоскости симметрии δ(δ1), - точки A, G, C и B. На горизонтальной проекции поверхность конуса невидима, следовательно, невидима и вся линия пересечения. Искомая линия пересечения данных поверхностей u(u1,u2) приведена на рис. 117.

Рис. 118. Линия пересечения поверхностей тора и наклонного цилиндра

Алгоритм решения данной задачи состоит в следующем:

1. Сначала определяются опорные точки (рис. 119). Так как очерковые образующие обеих поверхностей лежат в одной плоскости – плоскости симметрии δ(δ1), параллельной плоскости проекций П2, точки A(A1,A2) и B(B1,B2) пересечения этих образующих являются опорными. 

Рис. 119. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

2. Далее определяются промежуточные точки линии пересечения поверхностей (рис. 120). Порядок их определения сводится к следующему алгоритму:

2.1. Для определения кругового сечения поверхность цилиндра пересекается вспомогательной плоскостью β(β2). Окружность d = β(β2)∩ Фkон – круговое сечение цилиндра.

Рис. 120. Определение промежуточных точек линии пересечения: а -наглядное изображение; б - комплексный чертеж

2.2. Из точки L(L2)=q2 × β2 , центра кругового сечения d(d2), провести перпендикуляр до пересечения с осью i(i1,i2) тора. Точка O(O2) является центром вспомогательной сферы.

2.3. Из точки O2 радиусом, равным /O2K2/, построить окружность m(m2) – фронтальную проекцию вспомогательной сферы. Затем определить линии пересечения вспомогательной сферы с данными поверхностями. С цилиндром сфера пересекается по окружности d(d2), которая является его круговым сечением, а с поверхностью тора – по окружности l(l1,l2):

2.4. В пересечении окружностей d и l получаются точки C и D, принадлежащие искомой линии пересечения:

2.5. Чтобы построить горизонтальные проекции точек C и D, принадлежащих искомой линии пересечения, следует воспользоваться окружностью l(l1,l2) поверхности вращения, так как она не искажается на плоскости проекций П1.

3. Аналогично определяются остальные точки линии пересечения поверхностей. Для определения точек E, F, G и H, принадлежащих искомой линии пересечения, проведены плоскости γ(γ2) и η(η2) (рис. 121). Пределы этих плоскостей по ширине определяют правая и левая опорные точки линии пересечения поверхностей – фронтальные проекции точек A и B. Центрами вспомогательных сфер являются точки O'(O'2) и O''(O''2) соответственно. Все остальные построения выполнены аналогичным образом.

4. В данном случае линия пересечения поверхностей цилиндра и тора представляет собой кривую второго порядка v(v1,v2) (см. рис. 121).

5. Точки S и P являются точками смены видимости. Их фронтальные проекции лежат на оси вращения цилиндра q(q1,q2), а горизонтальные проекции – на очерковых образующих цилиндра.

На фронтальной плоскости проекций видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией очерковых образующих, проекции которых совпадают с плоскостью симметрии δ(δ1), – точки A, G, S, E, С, B.

На горизонтальной плоскости проекций видимы точки P, H, A, G, S, фронтальные проекции которых лежат выше фронтальной проекции образующих, проекции которых совпадают с осью вращения цилиндра q(q2).

Рис. 121. Линия пересечения поверхностей наклонного цилиндра и тора

Последнее изменение: Суббота, 4 марта 2017, 17:38