Начертательная геометрия и инженерная графика

Расстояние между двумя параллельными прямыми, определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной прямой, на другую прямую.

Расстояние между двумя параллельными прямыми

На основе данного определения составляем алгоритм решения задачи в общем виде:

- берем произвольную точку N на одной прямой;

- из точки N опускаем перпендикуляр на на другую прямую:

- через точку N проводим плоскость α перпендикулярную параллельным прямым n и m.

- находим точку встречи M прямой m с плоскостью α;

- соединяем точки N и M отрезком прямой;

- определяем действительную величину отрезка [NM} способом прямоугольного треугольника.

Расстояние между двумя параллельными прямыми определяется путем реализации данного алгоритма графических построений.

Решение задачи на расстояние между двумя параллельными прямыми значительно упрощается, если прямые будут параллельны плоскости проекции

Расстояние между двумя параллельными прямыми

Ход решения:

- на прямой n отмечаем произвольную точку N;

- вращаем прямые m и n вокруг оси i ⊥ H (i ∋ N) до положения ║ V. Проекции прямых (n`<sub>1</sub> ║ оси x) и (m`₁ ║ оси x) - переведены в частное положение способом вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций H;

- из точки N" опускаем перпендикуляр (N"M") на прямую m"₁. Определяем действительную величину [MN] способом прямоугольного треугольника.

Решение задачи на расстояние между двумя параллельными прямыми способом плоскопараллельного перемещения:

Расстояние между двумя параллельными прямыми

- первым шагом прямые переводятся в частное положение - положение фронтальных прямых, при этом перемещении d₁ = const, (m` ║ n`) ║ оси x;

- вторым шагом прямые переводятся в частное положение - положение горизонтально-проецирующих прямых, при этом перемещении d₂ = const, (m" ║ n") ⊥ оси x;

- проекциями горизонтально-проецирующих прямых n"₂ и m"₂ будут точки N`<sub>2</sub> и M`₂, соединив которые прямой линией получим отрезок [N`<sub>2</sub>M`₂] - соответствующий действительной величине расстояния между двумя параллельными прямыми m и n.

Обратным проецированием точки N и M могут быть построены на исходных проекциях

Расстояние от прямой до плоскости

Прямая и плоскость должны быть параллельны, иначе расстояние будет равно нулю.

В случае параллельности, расстояние от прямой до плоскости равно длине отрезка их общего перпендикуляра. 

На рисунке 1 отрезок ABAB перпендикулярен к прямой aa со стороны вершины AA и перпендикулярен плоскости ββ со стороны вершины BB. Напомню, что прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, следовательно, отрезок ABABдолжен быть перпендикулярен к произвольно прямой в плоскости β

 

Расстояние между двумя плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки взятой на одной плоскости, на другую плоскость.

Исходя из этого определения может быть составлен алгоритм из следующих элементарных задач, выполняемых в порядке очередности:

- взять в плоскости α произвольную точку A (A ∈ α);

- из точки A опустить перпендикуляр m на плоскость β (m ∋ A) ∧ (m ⊥ β);

- найти точку M пересечения перпендикуляра m с плоскостью β (M = m ∩ β);

- определить действительную величину [AM] (d = │ AM │).

Задачи на расстояние между двумя плоскостями решаются путем реализации этого алгоритма графических построений. Задача значительно упрощается, если параллельные плоскости перевести в частное положение (проецирующее) по отношению к плоскостям проекций.

В качестве примера решаем задачу на расстояние между двумя плоскостями заданными следами

Расстояние между двумя плоскостями

определяем способом перемены плоскостей проекций

x  

 → x₁  

 

Провести плоскость β ║ α, на расстоянии равном d. Плоскость α задана параллельными прямыми.

расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми

способом перемены плоскостей проекций. Здесь они заданы отрезками [AB] и [CD].
Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми способом прямоугольного треугольника

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Здесь скрещивающиеся прямые q и p - через произвольно взятые точки D и K на скрещивающихся прямых q и p проводим прямые m║p и n║q. Таким образом, получаем две параллельные плоскости, каждая из пересекающихся прямых, параллельных друг другу;

- через точку K восстанавливаем перпендикуляр к плоскости из пересекающихся прямых p и n, для этого:

- построим точки C на прямой n и B на прямой p, соединив которые получим треугольный отсек плоскости CBK;

- проводим главные линии плоскости CBK горизонталь h и фронталь f; - находим точку пересечения перпендикуляра и плоскости пересекающихся прямых q и m:

- заключаем перпендикуляр в горизонтально проецирующую плоскость γ_H;

- строим линию пересечения 3 - 4 γ_H и плоскости пересекающихся прямых q и m;

- на пересечении линию пересечения 3 - 4 перпендикуляром находим точку A - точку встречи перпендикуляра опущенного из точки K на плоскость пересекающихся прямых q и m; - используя способ прямоугольного треугольника построим действительную величину перпендикуляра [KA] - кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми q и p.