Начертательная геометрия и инженерная графика

Две главные позиционные задачи: на пересечение линии с плоскостью (поверхностью); на пересечение плоскостей (поверхностей). Алгоритм решения.

Пересечение линии и плоскости общего положения

Данная задача в плане изучения начертательной геометрии (соответственно и компьютерной) является определяющей. Если данная задача не освоена (не решена самостоятельно серия задач при разных заданиях плоскостей и прямой, то дальнейшее изучение начертательной геометрии практически невозможно: теряется логика размышлений и т.д.

Дадим алгоритм определения точки пересечения прямой общего положений с плоскостью общего положения

1.       Через данную прямую (рис.5) проводим вспомогательную плоскость (плоскость-посредник).

2.       Строим прямую пересечения заданной прямой и вспомогательной плоскости (см. рис.4.3)

3.        Точка пересечения определяется как пересечение заданной прямой и линии пересечения плоскостей (заданной и посредника).

4.       Определяем видимость по методу конкурирующих точек

На рис. 5 дана плоскость АВС общего положения и прямая l, пересекающая эту плоскость. Задача решена поэтапно, согласно записанного алгоритма.

Рис. 5 а) заданы прямая и плоскость, б) вводим посредник - плоскость Q (Q"=l"), в) определяем линию 1-2 как пересечения посредника Q с заданной плоскостью ABC, в) определяем точку К как пересечения прямой 1-2 с l, лежащих в одной плоскости (это прослеживается на горизонтальной плоскости), д) здесь показано решение задачи всех этапов на одном чертеже.

Запишем алгоритм решения задачи на пересечения прямой с плоскостью еще раз

1 этап. Через прямую l  проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость Q.

l = Q (Q перпендикулярна V, l''=Q'')

2 этап. Определена прямая 1-2 пересечения проецирующей плоскости Q c заданной плоскостью ABC.

3 этап. Определена точка K пересечения  прямой 1-2 с заданной прямой.

K = 1-2, как пересечение с l.

4 этап. Определена видимость прямой относительно плоскости по конкурирующим

Пересечение двух плоскостей общего положения. Метод секущих плоскостей

Две плоскости пересекаются в общем случае по прямой, которая может быть определена двумя точками. Задача может быть решена двумя способами:

- способом двойного нахождения точек пересечения двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, и

- способом ввода двух вспомогательных секущих плоскостей (посредников) частного положения.

Первый способ понятен (надо дважды решить задачу на пересечение прямой с плоскостью).

Рассмотрим второй способ, тем более на нем в дальнейшем основываются решения многих задач начертательной геометрии при работе с поверхностями.

Алгоритм метода секущих плоскостей

1)     Заданные плоскости T и P (рис.6) рассекаем двумя вспомогательными проецирующими плоскостями Q1 и Q2.

2)     2) Определяем прямые, по которым вспомогательные плоскости Q1 и Q2 пересекают каждую из плоскостей.

3)     Определяем первую точку K1 от пересечения прямых полученных на заданных плоскостях T и P от первой секущей плоскости Q1 и вторую точку K2 от пересечения прямых полученных на заданных плоскостях T,P от второй секущей плоскости Q2

4)     прямая K1-K2 проходящая через первую K1 и вторую K2 точки будет искомой прямой пересечения плоскостей T и P.

Рис. 6