Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика

Косоугольная аксонометрия и ее свойства. Теорема Польке.

Три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют собой параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на осях прямоугольной системы координат от ее начала.

На рис.1.6 показана схема проецирования точки А на некоторую аксонометрическую плоскость проекций П₀ по направлению проецирования S.

Рис.1.6

Прямые ОХ, ОY, ОZ являются осями натуральной системы координат ОХYZ, а прямые О₀Х₀, О₀Y₀,О₀Z₀ - осями аксонометрической системы координат О₀Х₀Y₀Z₀. Отрезок е принят за натуральную масштабную единицу, а отрезки е_х, e_y, е_z - за аксонометрические масштабные единицы по соответствующим осям координат. Проекция точки А на горизонтальную плоскость ХОY обозначена А₁.

Трёхзвенная пространственная линия ОА_ХА₁А, определяющая положение точки А относительно натуральной системы координат ОХYZ, называется натуральной координатной ломаной. Звенья этой ломаной являются отрезками координат: ОАх - отрезок абсциссы, АхА₁ - отрезок ординаты, А₁А - отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной натуральной масштабной единицей е, называются натуральными координатами точки А:

;   ;   .

Точка A₀ - аксонометрическая проекция точки А. Плоская ломаная О₀А_х0А₁₀А₀, которая называется аксонометрической координатной ломаной, является проекцией натуральной координатной ломаной. Так как при параллельном проецировании сохраняется простое отношение трех точек, получим:

Основное свойство аксонометрических проекций: аксонометрические координаты точек, измеренные аксонометрическими масштабами, численно равны натуральным. Таким образом, особенность рассматриваемого метода аксонометрии заключается в том, что это есть координатный метод построения наглядного однокартинного чертежа, обладающего свойством обратимости.

Для удобства построения аксонометрических чертежей используют показатели искажения - отношения аксонометрического масштаба к натуральному масштабу:

;   ;   .                                  (1.1)

Если все три коэффициента искажения равны между собой, аксонометрическая проекция называется изометрической; если равны между собой любые два коэффициента искажения, проекция называется диметрической; если все коэффициенты различны - проекция называется триметрической. При построении аксонометрических проекций обычно пользуются некоторыми величинами, пропорциональными коэффициентам искажения. Эти величины называются приведенными коэффициентами искажения.