Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика

Построение разверток наклонной призмы и усеченных пирамиды и цилиндра.

Способы:

А) нормального сечения;

Б) диагоналей или способ триангуляции (треугольники);

В) раскатки (вращения вокруг линий уровня).

Способы построения чертежей разверток цилиндрических и призматических поверхностей идентичны, так как цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай призматической.

12.5.2. Способ нормального сечения

Способ нормального сечения заключается в том, что цилиндр или призма пересекаются плоскостью, перпендикулярной образующим цилиндра или ребрам призмы.

Способ нормального сечения применяется в том случае, если основание призмы не является плоскостью уровня, а основание цилиндра – окружностью.

Строится сечение цилиндра или призмы этой плоскостью и определяется его натуральная величина. Затем сечение спрямляется, и перпендикулярно спрямленному нормальному сечению проводятся прямые, соответствующие образующим цилиндра или ребрам призмы, и на этих прямых откладываются натуральные величины образующих или ребер.

Соединив концы образующих или ребер плавной кривой или ломаной линией, получают развертку боковой поверхности цилиндра или призмы.

Рассмотрим применение этого способа для призматических поверхностей на примере треугольной призмы, ребра которой являются фронтальными линиями уровня (рис. 155).

Так как боковые ребра призмы являются фронтальными линиями уровня, они проецируются на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Тогда фронтально – проецирующая плоскость δ(δ₂), перпендикулярная к боковым ребрам, определит нормальное сечение I–II–III призмы. Способом плоскопараллельного движения определена его натуральная величина I'₁–II'₁–III'₁.

Для построения развертки призмы строится спрямленное нормальное сечение I₀–II₀–III₀. Для этого нужно отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормального сечения, а затем через точки I₀, II₀ и III₀ нужно провести прямые, перпендикулярные к этой прямой. На этих прямых откладываются натуральные величины ребер:

Затем точки A₀, B₀, C₀, A₀ и точки A'₀, B'₀, C'₀, A'₀ соединяются прямыми линиями. К полученной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются натуральные величины двух ее оснований:

Если боковые ребра данной призмы занимают произвольное расположение относительно плоскостей проекций, то нужно предварительно преобразовать их в линии уровня.

Рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей на примере построения развертки боковой поверхности кругового цилиндра, ось i которого является фронтальной линией уровня (рис. 156).

Так же, как и в случае призмы, построено нормальное сечение цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью α(α₂), перпендикулярной оси цилиндра и определена его натуральная величина – окружность радиусом r. Эта окружность разбита на шесть равных частей точками I, II, III, IV, V и VI. Далее строится спрямленное нормальное сечение I₀-II₀-III₀-IV₀-V₀-VI₀-I₀, длина которого равна 2πr. Через точки I₀,II₀,III₀,IV₀,V₀,VI₀ и I₀ проводятся прямые, перпендикулярные спрямленному нормальному сечению, и на них откладываются натуральные величины образующих цилиндра:

Точки A₀, B₀, C₀…и точки A'₀, B'₀, C'₀…соединяются плавными кривыми линиями, которые будут развертками верхнего и нижнего оснований цилиндра.

Если образующие цилиндра являются прямыми общего положения, то следует преобразовать их так, чтобы они стали линиями уровня.

Рис. 155. Построение развертки треугольной наклонной призмы способом нормального сечения

Рис. 156. Построение развертки боковой поверхности кругового цилиндра способом нормального сечения

 

Способ треугольников (способ триангуляции) используется для построения развертки боковой поверхности пирамиды, а так же для построения боковой поверхности линейчатых поверхностей. Пример. Построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC(рис 8.4,).

Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников - граней пирамиды. Поэтому построение развертки поверхности пирамиды сводится к

определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников - граней пирамиды.

На рис 8.4 определение действительной длины ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i (iÎS и i^H). Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью b(плоскость bôô V и bÉi). Определив действительные величины ребер [S² А₂], [S² B₂], [S² C₂], приступаем к построению развертки. Из произвольной точки So проводим произвольную прямую а, откладываем на ней от точки So[SoA₀]@[S² А₂]. Из точки Ао проводим дугу радиусом

г₁=[A¢B¢] , а из точки So- дугу радиусом Ri=[S² B₂]. В пересечении дуг полусаем вершину Во треугольника S.₀AoBo (треугольник SoAoBoS @треугольника SAB - грани пирамиды). Аналогично находятся точки So и Ао. Соединив точки AoB.oC₀AoSo, получим развертку боковой поверхности пирамидыSABC.

При развертке линейчатых ( поверхности, образованные движением прямой линии, называют линейчатыми), развертывающихся поверхностей последние рассматривают как состоящие из очень большого числа бесконечно малых плоских элементов, иначе говоря, заменяют эту поверхность многогранной

поверхностью (аппроксимируют). Развертку поверхности строяткак суммы разверток треугольных граней вписанной многогранной поверхности.

Заменяя плавную кривую ломаной, следует разбить эту кривую на такие дуги, длины которых возможно мало отличаются от сторон ломаной, В этом случае стороны многоугольников будут очень мало отличаться от другой развернутой кривой. Этот способ построения разверток называется способом триангуляции - развертываемая поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью с треугольными гранями.

12.5.1. Способ раскатки

При построении разверток данным способом поверхность цилиндра или призмы разрезается по одной из образующих или по одному ребру и совмещается вращением вокруг образующей или вокруг ребра с некоторой плоскостью.

Данный способ обычно применяется в случае, когда образующие цилиндра или ребра призмы являются линиями уровня. Если образующие цилиндра или ребра призмы не являются линиями уровня, то предварительно одним из способов преобразования комплексного чертежа их надо привести в положение линий уровня.

Рассмотрим построение чертежа развертки поверхности призмы, ребра которой являются фронтальными линиями уровня, а нижнее основание является горизонтальной плоскостью уровня (рис. 153).

Призма разрезана по ребру a(a₁,a₂) и это ребро принято за ось вращения i(i₁,i₂); i=α. При вращении граней призмы вокруг этой оси любая точка будет перемещаться в плоскости, перпендикулярной оси вращения, например, точка B будет перемещаться в плоскости

Рис. 153. Построение развертки боковой поверхности призмы способом раскатки

Грань ABB'A поворачивают до совмещения ее с плоскостью уровня α(α₁), проходящей через ребро a. Для этого достаточно совместить точку B с плоскостью α. Зная расстояние от точки A до точки B (/AB/=/A₁B₁/ ) и зная, что точка B перемещается во фронтально-проецирующей плоскости δ(δ₂), из точки A₂, как из центра, проводится дуга окружности радиусом r=/A₁B₁/ и на δ₂ получается точка B₀. Точка B₀ – совмещенное с плоскостью α положение точки B. Соединив точки A₂ и B₀, получим совмещенное положение грани с плоскостью α.

Для того чтобы совместить грань ABB'A' с плоскостью α, из точки B₀ строится прямая b₀(b₀ – совмещенное положение ребра b с плоскостью α) параллельно a₂. Аналогичным образом построены совмещенные положения остальных граней призмы с плоскостью a (равенство соответствующих отрезков обозначено на рис 153 специальными значками).

Вершины A', B' и C' верхнего основания также вращаются в соответствующих фронтально-проецирующих плоскостях, перпендикулярных ребрам призмы. Поэтому совмещенные с плоскостью α проекции вершин верхнего основания A'₀, B'₀ и C' определяются как точки пересечения прямых a₀, b₀ и c₀ с соответствующими фронтально-проецирующими плоскостями.

Соединив последовательно совмещенные вершины ломаными линиями, получают развертку боковой поверхности призмы.

Чтобы получить полную развертку поверхности призмы, к развертке боковой поверхности присоединяют натуральные величины обоих оснований.

На рис 146 показано построение на чертеже развертки точки K(K₁,K₂), принадлежащей грани ABB'A'.

Для этого через точку K проведена прямая (KD) , параллельная ребрам призмы. Затем она построена на чертеже развертки:

где K₀ – точка развертки, соответствующая точке K поверхности.

Рассмотрим построение чертежа развертки поверхности наклонного цилиндра, образующие которого являются фронтальными линиями уровня, а основание – окружностью (рис. 154).

Для построения развертки цилиндр разрезается по образующей AA', а основание цилиндра разбивается на произвольное число равных частей, что соответствует замене цилиндрической поверхности поверхностью многогранной призмы. Следует иметь в виду, что чем больше число сегментов, тем точнее развертка поверхности.

В данном примере основание разбито на шесть равных частей точками A, B, C, D, E и F. Эти точки совмещены с плоскостью γ(γ₁) вращением вокруг оси i(i₁,i₂), которая совпадает с образующей цилиндра AA'.

При вращении граней вписанной призмы вокруг оси i, любая точка будет перемещаться в плоскости, перпендикулярной оси вращения, например, точка B будет вращаться в плоскости δ(δ₂) ⊥ i(δ₂ ⊥ i₂). Зная расстояние от точки A до точки B (AB=A₁B₁) и зная, что точка B перемещается во фронтально – проецирующей плоскости δ(δ₂), можно провести дугу окружности из точки A₂, как из центра, радиусом r = A₁B₁ и получить на δ₂ точку B₀. Точка B₀– совмещенное с плоскостью γ положение точки B.

Аналогичным образом построены совмещенные положения остальных точек основания цилиндра. Образующие цилиндра на развертке параллельны своим фронтальным проекциям.

Оставшуюся неподвижной точку A и полученные точки, B₀, C₀, D₀, E₀, F₀ и A₀ нужно соединить плавной кривой. Эта кривая представляет собой развертку окружности, лежащей в основании цилиндра. 

Рис. 154. Построение развертки поверхности наклонного цилиндра способом раскатки