Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика

Суть метода состоит в задании новых изображений геометрических фигур удовлетворяющих определенным свойствам.  Это может быть какой-либо дополнительный вид фигуры, натуральная величина какой-либо ее грани (например, для построения разверток) или других задач, типа определения угла между гранями, расстояние между двумя объектами и т.д. В системе CG-Вектор есть операция "вид на объект по направлению вектора". Вектор  это отрезок прямой который  определяется разностью координат начальной и конечной точек, что можно записать в векторной форме:

р = р2 - р1, или через его координаты:

x = x2 - x1 ,y = y2 - y1 z = z2 - z1

Чтобы определить направление взгляда или направление проецирования необходимо определить отрезок прямой линии (двумя точками)  по направлению которого необходимо смотреть на моделируемую сцену или, как это принято в начертательной геометрии, строить перпендикулярно этому направлению новую плоскость.

В начертательной геометрии при этом требуется, чтобы геометрические объекты проецировались на две взаимно-ортогональные (взаимно-перпендикулярные)  плоскости.

При этом одну из плоскостей оставляют старой, а вторую - выбирают перпендикулярно к ней. Принимая это условие и выбирая горизонтальную плоскость в виде первой плоскости, а вторую перпендикулярно ей, получаем, что новое направление проецирования должно быть по линии параллельной горизонтальной плоскости, т.е. наблюдатель (в бесконечности) как бы вращаясь вокруг объекта смотрит на него не поднимаясь и не опускаясь. Такое же условие можно поставить и относительно фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим это на примере с точкой и определим механизм замены, традиционно применяемый в начертательной геометрии.

Способ замены плоскостей проекций на примере с точкой

Пусть в системе плоскостей   задана точка А (A',A''). Выберем новое (не на фронтальную или профильную плоскости проекции  как это делали раньше) направление проецирования х, причем такое чтобы новая плоскость была перпендикулярна горизонтальной плоскости. Таким направлением будет прямая - горизонталь, проведенная из точки. Новая плоскость является как бы новой по отношению к фронтальной плоскости (отсюда метод замены плоскостей проекций) и при этом  остается важное свойство высоты   (координаты) точек на новой плоскости равны координатам старой фронтальной плоскости.

Линия направления проецирования (линия связи) проецируется на горизонтальную плоскость  перпендикулярно следу новой плоскости. Плоскость V1 пересекается с пл. Н по прямой х1, которая определяет новую ось Ох1. Для определения проекции А'1 на плоскости V1 достаточно спроецировать ее ортогонально. Из чертежа видно, что АхА''1=AxA'' (высоты равны). Эпюр (плоский чертеж получается совмещением плоскости V1 c Н, при этом А'xA''1 перпендикулярна оси - x₁,  Ax₁A''=AxA''. Схему преобразований можно записать так:

х-V/H  -> х₁-H/V₁

Аналогично можно выполнить замену горизонтальной плоскости Н на новую плоскость Н1 по схеме:

х-V/H  -> х₁-V/H₁

При решении задач встречается необходимость выполнять замену последовательно два, три и более (в начертательной геометрии многомерного пространства) раз. Каждый переход осуществляется на основе изложенной закономерности: выбора направления проецирования и построения новой проекции по двум заданным.

Проецирование прямой линии в точку

Пример 1. Задан отрезок прямой, занимающий положение горизонтали. Требуется подобрать направление проецирования и новую плоскость проекций на которую данный отрезок проецировался бы в точку.

Решение. При задании отрезка AB прямой уровня решены две задачи: во первых определена натуральная величина отрезка (горизонтальная проекция A'B') и определен угол  наклона прямой AB к фронтальной плоскости проекций V. Чтобы выполнить преобразование прямой в точку, необходимо направление проецирование выбрать по направлению отрезка АВ, а новую плоскость построить перпендикулярно ему. Отрезок АВ параллелен горизонтальной плоскости и значит плоскость ему перпендикулярная Q будет перпендикулярна и горизонтальной плоскости проекции H (вырожденная проекция такой плоскости -ось  х1 перпендикулярно горизонтальной проекции отрезка A'B'). Схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1

Рис. 3.10 - Прямая-горизонталь АВ проецируется на плоскость V1 в точку, если V1 перпендикулярно Н и ее вырожденная проекция (след) х1 на горизонтальной проекции перпендикулярна проекции А'B' отрезка АВ.

Преобразования прямой общего положения в проецирующее положение

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1 -> x2-V1/H1

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость

Данная задача может быть решена из определения: плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, если в заданной плоскости взять какую-либо прямую и последовательно преобразовать ее точку, то и плоскость в которой она лежит должна стать проецирующей (проецироваться-вырождаться в прямую). Из этого уже следуют, что для произвольной прямой плоскости необходимо выполнить два преобразования (см. пример 2). Однако, если в плоскости взять не произвольную прямую, а линию уровня, то преобразования такой прямой в проецирующее положение можно выполнить за одно преобразование (см. пример 1). На рис. показано такое преобразование:  в плоскости АВС выбрана горизонталь h,  к ней построена новая плоскость (ее след х1),  на которую треугольник АВС проецировался в вырожденный отрезок АВ. 

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1
 

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня (определение натуральной величины плоской фигуры)

Задача в данной постановке решается одним преобразованием: новую плоскость выбирают параллельно заданной у нее вырожденный след (ось х1 ) будет параллелен следу заданной плоскости 

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х₁-H/V₁ -> x₂-V₁/_H1

Определение натуральной величины плоского треугольника АВС общего положения

Плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, поэтому требуется две замены 1) преобразование в проецирующее положение и вторая замена в положение уровня. Данные преобразования по отдельности были выполнены выше и объединяя их получим схему преобразования

Первую плоскость V1 выбираем перпендикулярно к плоскости АВС. Для чего ось х1 (след плоскости АВС)  проводим перпендикулярно горизонтали А-1 принадлежащей плоскости АВС ( на горизонтальной плоскости х1 * A'-1'). Вторую плоскость Н1 выбираем параллельно треугольнику АВС, что будет соответствовать выбору на плоскости V1 оси х2 (следа плоскости Н1)   параллельно вырожденной проекции А''1-B''1-C''1 треугольника АВС. 

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х₁-H/V₁ -> x₂-V₁/H₁