Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика

Частные случаи пересечения прямой с плоскостью

Пересечение проецирующей прямой с плоскостью (рис. 3.2,а) определяется из условия принадлежности точки пересечения заданной плоскости (см. тему 2).

Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис. 3.2,а) определяется в пересечении вырожденной проекции плоскости и соответствующей проекции прямой.

На рис. 3.2,б задана фронтально проецирующая плоскость, пересечение  вырожденной  проекция которой с проекций прямой l'' на эту же плоскость определяет точку пересечения. Как видим, решение позиционных задач при таком расположении простые.

 

Рис. 3.2. а) пересечение проецирующей прямой с плоскостью,

б) пересечение прямой с проецирующей  плоскостью

Частные случаи пересечения плоскостей

Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения (рис. 3, а) решается на основе: прямая пересечения двух плоскостей может быть определена двумя точкам и, поэтому взяв на не вырожденной плоскости две произвольные прямые определим две точки в пересечении с вырожденной проекцией прямой/

Пересечение двух проецирующих плоскостей на одну и ту же координатную плоскость определяется из условия пересечения их вырожденных. Линия пересечения 1-2 (рис. 3,б) будет проецирующей в точку пересечения вырожденных проекций

Задачи 2, 3 решаются на основе вырожденных свойств проецирующих прямых и плоскостей.

 

Рис. 3.3 - а) пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения, б) пересечение двух проецирующих плоскостей

Пересечение прямой и плоскости общего положения

Данная задача в плане изучения начертательной геометрии (соответственно и компьютерной) является определяющей. Если данная задача не освоена (не решена самостоятельно серия задач при разных заданиях плоскостей и прямой, то дальнейшее изучение начертательной геометрии практически невозможно: теряется логика размышлений и т.д.

Дадим алгоритм определения точки пересечения прямой общего положений с плоскостью общего положения

1. Через данную прямую (рис.3.4) проводим вспомогательную плоскость (плоскость-посредник).
2. Строим прямую пересечения заданной прямой и вспомогательной плоскости (см. рис.3.3)
3.  Точка пересечения определяется как пересечение заданной прямой и линии пересечения плоскостей (заданной и посредника).
4.  Определяем видимость по методу конкурирующих точек

На рис. 4 дана плоскость АВС общего положения и прямая l, пересекающая эту плоскость. Задача решена поэтапно, согласно записанного алгоритма.

 

а)

б)

в)

г)

д)

 

Рис. 3.4. а) заданы прямая и плоскость, б) вводим посредник - плоскость Q (Q"=l"), в) определяем линию 1-2 как пересечения посредника Q с заданной плоскостью ABC, в) определяем точку К как пересечения прямой 1-2 с l, лежащих в одной плоскости (это прослеживается на горизонтальной плоскости), д) здесь показано решение задачи всех этапов на одном чертеже.

Запишем алгоритм решения задачи на пересечения прямой с плоскостью еще раз

1 этап. Через прямую l  проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость Q.

l = Q (Q перпендикулярна V, l''=Q'')

2 этап. Определена прямая 1-2 пересечения проецирующей плоскости Q c заданной плоскостью ABC.

3 этап. Определена точка K пересечения  прямой 1-2 с заданной прямой.

K = 1-2, как пересечение с l.

4 этап. Определена видимость прямой относительно плоскости по конкурирующим точкам 1,3 и 4,5.

Пересечение прямой с координатными осями

Следом прямой называют точку пересечения прямой с плоскостью проекций. Прямая общего положения имеет три следа: горизонтальный, фронтальный и профильный. Прямые частного положения имеют один или два следа: проецирующие прямые имеют один след, прямые уровня - два следа.

Так как любая координатная плоскость является проецирующей на другой координатной плоскости, то задача построения следа прямой сводится к задаче нахождения точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью.

Так, например, построение горизонтального следа l''  прямой l (AB) (рис. 3.5, .а,б) определяется в пересечении фронтальной проекции l'' с осью  Ох.

 

Пересечение плоскости с координатными осями и координатными плоскостями

Чтобы задать плоскость аналитически, например,  уравнением в отрезках: x/a +y/b +z/c=1, где а,b,c - отрезки отсекаемые плоскостью по осям x,y,z , можно воспользоваться правилом пересечения плоскости с проецирующими прямыми (все оси являются проецирующими на ту или иную координатную плоскость) или правилами пересечения заданной плоскости с координатными плоскостями (все координатные плоскости являются проецирующими по отношению к остальным двум), как с вырожденными их проекциями (они совпадают с осями) на других координатных плоскостях.

 

а)                                             б)
  

 

Рис. 5. Пересечение прямой с горизонтальной и фронтальной плоскостью: а) на наглядном чертеже, б) на ортогональном чертеже.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Если в плоскости взять пересекающиеся линии: горизонталь и фронталь, то можно воспользоваться свойствами проецировании прямого угла (см. тему 1).

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекции перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис.3.6,а).

 

 

а)                                                      б)                                              в)  

 

Рис. 3.6 Прямая перпендикулярная плоскости (ее фронтали и горизонтали).

Если плоскость задана следами, то прямая, перпендикулярная к ней, будет изображаться прямой линией, перпендикулярной к одноименным следам плоскости (имеем горизонтальный след - это горизонталь и фронтальный след - фронталь плоскости) (рис. 6,б). Если прямая перпендикулярна к проецирующей плоскости, то она будет являться линией уровня (рис. 6,в).

Прямая а перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым,  лежащим в плоскости (на рис. плоскость задана следами, а две пересекающиеся прямые f и h выбраны фронталью и горизонталью, которые параллельны следам плоскости).

 

 

 

 

 

 

 

Перпендикулярность двух плоскостей

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. Таким образом, чтобы построить плоскость, перпендикулярную заданной плоскости, необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную данной плоскости, и через эту прямую провести искомую плоскость.

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 3.7, а показано построение плоскости Q (n пересекается с m), проходящей через точку К, перпендикулярной плоскости треугольника АВС и параллельной заданной прямой l  (последнее дополнительное условие определяет единственное решение задачи).

Рис.3.7. Плоскость проходящая через перпендикуляр к другой плоскости перпендикулярна ей.

Решение задачи состоит в следующем: вначале, опускаем из точки К перпендикуляр n на плоскость треугольника АВС, для чего проводим горизонталь h и фронталь f в плоскости треугольника, и затем строим n' перпендикулярно h' и n'' перпендикулярно f'', и через точку К проводим прямую m, параллельную прямой l. Две пересекающиеся прямые m и n определяют искомую плоскость, перпендикулярную заданной плоскости.

Аналогично решаются задачи о построении перпендикулярной плоскости к плоскости, заданной следами. На рис. показана такая задача. Кроме того, плоскость Р проведена перпендикулярно и плоскости Н.

а)

б)

в)

 

Рис. 3.8 Плоскость Q (ее след перепендикулярен P) явно видно, что перпендикулярна P.

По определению: плоскость перпендикулярно другой  плоскости, если она перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Если плоскость перпендикулярна горизонтальной линии (горизонтали), то она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций Н

Линия ската и углы наклона плоскости к плоскостям проекций

Линией наибольшего ската (уклона) называется прямая плоскости, перпендикулярная к горизонтальному следу или горизонталям этой плоскости. (рис. 3.9, а,б). При помощи линий ската определяется угол наклона данной плоскости к плоскости H.

Натуральная величина наклона плоскости (в частности, линий ската) может быть на ортогональном чертеже определена с помощью прямоугольного треугольника.

                   а)                                                б)

Рис. 3.9 а) Прямая плоскости перпендикулярная ее горизонтали называется линией ската, б) прямая плоскости перпендикулярная горизонтальному следу плоскости является линией ската.

Аналогично могут быть определены углы наклона плоскости и к плоскостям V и W. Для этого используются прямые наибольшего уклона данной плоскости к соответствующим плоскостям проекций.

Прямые наибольшего уклона, перпендикулярные фронталям плоскости, образуют наибольший угол с фронтальной плоскостью;

прямые наибольшего уклона, перпендикулярные профильным прямым плоскости, образуют наибольший угол с профильной плоскостью проекций.

Угол, образованный между прямой наибольшего уклона и ее проекцией на выбранную плоскость проекций, определяют угол наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций. На эпюре данный угол может быть определен из метода прямоугольного треугольника