Начертательная геометрия и инженерная графика

Позиционные и метрические задачи.

Задачи, в которых определяется взаимное положение фигур относительно друг друга, называются позиционными. К ним относятся задачи на взаимопринадлежность (задать точку на линии или плоскости, провести прямую в плоскости и т.п.) и задачи на пересечение (найти точку пересечения прямой с плоскостью, линию пересечения двух плоскостей. Кроме перечисленных задач при компьютерном моделировании геометрических форм возникают и новые задачи из теории множеств типа найти  пересечения (форму) двух и более объектов, разность, объединение.

Взаимное положение двух точек

Две точки пространства могут совпадать или не совпадать. Если две точки совпадают, то совпадают и их проекции. Если же точки не совпадают, то их проекции различны или, по крайней мере, не должна совпадать одна пара (из двух пар) их проекций.

Конкурирующими называют точки, расположенные на одной проецирующей прямой. Признак: проекции этих точек совпадают в одну точку на той плоскости, к которой их носитель (проецирующая прямая) перпендикулярна. При определении видимости используют критерии видимости конкурирующих точек: из двух горизонтально-конкурирующих точек видна та, которая выше; из двух фронтально-конкурирующих точек видна та, которая ближе; и из двух профильно-конкурирующих точек видна та точка, которая левее.

Рис. 3.1 - Взаимное положение точек: а) точки совпадают, б) точки общего положения, в) профильные точки

Горизонтально-конкурирующие точки

Фронтально-конкурирующие точки

 Профильно-конкурирующие точки

Взаимное положение точек и прямой

На рис. т. А лежит на прямой, так как выполняется свойство принадлежности, т.е. A' принадлежит m' и A' '  принадлежит m'', и свойство существования - обе проекции A' и A'' находятся на одной линии связи.

Точки В, С (C' лежит на m", а C" - на m'), и D не лежат на прямой m. Точка В находится над прямой m, точка С  под прямой, точка D - над и перед прямой m.

Взаимное положение двух прямых  (см. тему 1)

Прямые могут пересекаться: у них одноименные проекции попарно пересекаются K' = l' *t', K'' = l'' *t'', а точки пересечения K', K'' лежат на одной линии связи.

Прямые параллельны, если они не имеют общей точки. Признак: их проекции попарно параллельны l' // t' и  l'' // t'' по свойству параллельности.

Прямые скрещиваются, если они не параллельны и не пересекаются. На чертеже точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. В частности, на одной плоскости проекций проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны.

Прямые совпадают, если совпадают попарно их проекции на каждой плоскости проекций.