Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика

Кривые линии, которые получаются в сечении прямого кругового конуса плоскостью, называются коническими сечениями. В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к конической поверхности образуются следующие линии:

Окружность, если секущая плоскость η(η₂) перпендикулярна оси вращения конуса i(рис. 8).

Рис. 8 Окружность

Кривые линии, которые получаются в сечении прямого кругового конуса плоскостью, называются коническими сечениями. В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к конической поверхности образуются следующие линии:

Две пересекающиеся прямые, если секущая плоскость β(β₂) проходит через вершину поверхности конуса (рис. 9).

Рис. 9 Пересекающиеся прямые

Эллипс (рис. 10), если секущая плоскость μ(μ₂) пересекает все образующие, расположенные по одну сторону от вершины конуса. Точки A и B являются опорными и не требуют дополнительных построений (см. рис. 95.). Отрезок [AB] определяет большую ось эллипса. Для определения малой оси отрезок [A₂B₂] делят пополам. Так получается центр эллипса – точка O. Затем через точку O проводят вспомогательную плоскость σ(σ₂), которая пересекает поверхность конуса по окружности:

Для построения фокуса проводят биссектрису угла ∠S₂B₂A₂, между образующей конуса и следом секущей плоскости μ₂ до пересечения с осью конуса. Из полученной точки опускают перпендикуляр на след плоскости μ₂. Эта точка F и является фокусом. Из точки A₂откладывают расстояние AF'=FB.

Свойство эллипса: сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равна большой оси эллипса AB=FP+F'P.

Рис. 10. Эллипс

Парабола (рис. 11), если секущая плоскость λ(λ₂) параллельна одной из образующих поверхности конуса

Парабола

Точка K – вершина параболы (см. рис. 12). Точки N и M лежат на основании. Фокус параболы строится при проведении биссектрисы угла ∠S₂K₂M₂ и перпендикуляра на секущую плоскость λ(λ₂). F₂K₂=K₂d₂, d – директриса, d ⊥ λ(λ₂).

Свойство параболы: расстояние от любой точки параболы до ее фокуса равно расстоянию от этой точки до директрисы WD=WF.

Гипербола (рис. 97), если секущая плоскость ω(ω₂) пересекает обе половины поверхности конуса

При пересечении конуса образуются две части гиперболы s и s'. G и G' – вершины гиперболы, F(F₁, F₂) и F'(F'₁, F'₂) – фокусы гиперболы, O(O₁, O₂) – центр гиперболы, а и a' – асимптоты гиперболы, получающиеся как прямые, параллельные образующим конуса S1 и S2, полученным при рассечении его плоскостью δ(δ₂), параллельной плоскости ω(ω₂).

Свойство гиперболы: разность расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами гиперболы RF–RF'=GG'